Master “Métodos Matemáticos Avanzados en Física”

Asignatura: Introducción a los espacios de móduli (4,5 créditos ECTS, S1)


3.3.1. Objetivos específicos de aprendizaje.

Familiarizar a los alumnos con los problemas de móduli, especialmente de fibrados, su significación geométrica y su construcción. Ilustrar a los alumnos sobre problemas relacionados (categorías derivadas, functores integrales, categorías diferenciales graduadas, etc) que han aparecido recientemente en relación con la teoría de cuerdas. El objetivo del curso es poner a los alumnos en situación de estudiar con profundidad los temas tratados y de usarlos, no pretende un desarrollo completo de la teoría. Se valorará también la capacidad de leer y comprender temas relacionados con la asignatura y desarrollados en libros y artículos de investigación.

3.3.2. Metodología docente: actividades de aprendizaje y su valoración en créditos ECTS

Esta asignatura tiene 4,5 créditos ECTS. Se dedican 31 horas a actividades presenciales (16 para teoría y 15 para ejercicios) y 81 horas para trabajo personal y actividades tutoriales. Dentro de las 81 horas de trabajo personal se cuentan

1.Tutorías de Supervisión En ellas, además de resolver cuestiones y dudas, se hará una supervisión del desarrollo del trabajo individual con el objetivo de lograr una adecuada presentación del trabajo en el seminario correspondiente (5 horas).

2.Seminarios. Cada alumno presentará su trabajo individualizado al resto de los alumnos en un seminario. Esta actividad presencial supondrá un total de 10 horas.

3.Tutorías: Se programarán 3 horas de tutoría semanales en las que los alumnos que lo deseen podrán efectuar preguntas y consultas. Estas horas no se contabilizan en las 5 de las Tutorías de supervisión, pero sí en .

Las actividades de aprendizaje se desglosan como sigue:

1.Conexiones y estructuras holomorfas.

a)Objetivos: Conocer la equivalencia entre estructuras holomorfas y conexiones con curvatura de tipo (1,1) para fibrados con métrica hermítica.

b)Contenidos: Métricas hermíticas en fibrados complejos. Descomposición de Hodge. Operadores delta barra y estructuras complejas, resolución de Dolbeault Conexiones complejas, curvatura. Relación con las estructuras complejas.

c)Destrezas: Manejo de las estructuras complejas. Cálculo de Hodge para formas valoradas en secciones de un fibrado complejo.

d)Tiempo de aprendizaje: 2 horas de clase teórica, 1 de práctica y 6 de estudio (incluyendo tutorías)

2.Fibrados holomorfos

a)Objetivos: Estudiar las propiedades de los fibrados holomorfos.

b)Contenidos: Fibrados y haces homolorfos, Sucesiones exactas. Ejemplos.

c)Destrezas: Cálculo de fibrados a partir de sucesiones. Determinación de núcleos e imágenes.

d)Tiempo de aprendizaje: 2 horas de clase teórica, 1 de prácticas y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

3.Condiciones de Einstein-Hermite

a)Objetivos: Estudiar la condición de Einstein-Hermite y su significación  geométrica. Relacionarla con la ecuación de anti-autodualidad que caracteriza los instantones.

b)Contenidos: Operador de Hodge. Condición de Einstein-Hermite. Ecuaciones de auto-dualidad. Relación con problemas de extremales.

c)Destrezas: Cálculo de ecuaciones para formas valoradas en secciones.

d)Tiempo de aprendizaje: 1,5 horas de clase teórica, 1,5 de práctica y 6 de estudio (incluyendo tutorías)

4.Estabilidad algebraica. Equivalencia con las ecuaciones de Einstein-Hermite

a)Objetivos: Comprender la definición algebraica de estabilidad y conocer su relación con las ecuaciones de Einstein-Hermite

b)Contenidos: Haces estables y semiestables en sentido de Mumford. Relación entre la estabilidad algebraica y las ecuaciones de Einstein-Hermite. (no se estudiará la demostración completa de la equivalencia).

c)Destrezas: Manejo de las condiciones de estabilidad. Cálculo con clases de Chern.

d)Tiempo de aprendizaje: 1,5 horas de clase teórica, 1,5 de práctica y 6 de estudio (incluyendo tutorías)

5.El problema de móduli. Ejemplos

a)Objetivos: Comprender los problemas de móduli como problemas de dotar de estructura (algebraica, holomorfa) a conjuntos dados por propiedades geométricas y describir algunos ejemplos. Conocer los conceptos de móduli fino y grosero y sus diferencias. Estudiar la construcción de espacios de móduli dados por condiciones abiertas y cerradas.

b)Contenidos: Espacios y sus puntos. Determinación de una variedad por sus puntos. Lugares geométricos. Reconocer la diferencia entre móduli fino y móduli grosero. Condiciones abiertas y cerradas, condición de haz. Ejemplos sencillos: fibrados vectoriales.

c)Destrezas: Comprender los procesos implicados y ser capaz de manipularlos.

d)Tiempo de aprendizaje: 2 horas de clase teórica, 2 de práctica y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

6.Espacios de móduli sencillos: Fibrados proyectivos, Grassmanianas y esquemas de Hilbert

a)Objetivos: Estudiar los fibrados proyectivos y las grassmanianas como espacios de móduli sencillos. Conocer la idea de la construcción de los esquemas de Hilbert y de los esquemas Quot.

b)Contenidos: Puntos de un fibrado proyectivo y de una Grassmaniana. Construcción de un recubrimiento abierto del moduli. Construcción del móduli. Relación con la construcción geométrico diferencial. Descripción de la construcción de los esquemas de Hilbert y Quot. Cálculos en algunos casos sencillos

c)Destrezas: Comprender los procesos implicados. Construir espacios de móduli a partir de recubrimientos. Construir espacios de móduli sencillos similares a los estudiados.

d)Tiempo de aprendizaje: 3 hora de clase teórica, 2 de práctica y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

7.Cocientes por acción de grupos

a)Objetivos: Comprender los distintos tipos de cociente posibles por la acción de un grupo algebraico y su relación con el problema de móduli.

b)Contenidos: Acciones de un grupo. Estructuras algebraicas de los cocientes. Ejemplos sencillos, esquemas de Picard.

c)Destrezas: Comprender los distintos de cocientes por la acción de un grupo.

d)Tiempo de aprendizaje: 1 hora de clase teórica, 2 de práctica y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

8.Espacios de móduli de fibrados

a)Objetivos: Comprender los problemas de existencia de los espacios de móduli de fibrados y de la necesidad de las condiciones de estabilidad. Móduli fino y grosero de fibrados.

b)Contenidos: Familias limitadas (definición). Descripción de la construcción del móduli. Enunciados de algunos resultados importantes sobre espacios de móduli.

c)Destrezas: Ser capaces de utilizar espacios de móduli de fibrados y de comprender trabajos que los utilicen.

d)Tiempo de aprendizaje: 2 horas de clase teórica, 2 de práctica y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

9.Otros tipos de móduli con interés en teoría de cuerdas: Orbifolds y stacks

a)Objetivos: Conocer la existencia de espacios de móduli más generales usados en teoría de cuerdas, como orbifolds y stacks.

b)Contenidos: Descripción elemental de orbifold y de algunos tipos de stacks en relación con el problema de móduli. Stack cociente y variedad subyacente. Ejemplos sencillos.

c)Destrezas:

d)Tiempo de aprendizaje: 1 hora de clase teórica, 1 de prática y 3 de estudio (incluyendo tutorías)

3.3.3. Criterios y métodos de evaluación.

La evaluación tendrá dos partes.

1.Valoración del trabajo realizado por el alumno y su exposición. Esta parte contabilizará un 50% de la nota final.

2.Exposición de un tema de un libro o de un artículo propuesto por el profesor y relacionado con la asignatura. Esta segunda parte contabilizará un 30% de la nota final.

3.Realización de un examen para determinar el grado de cumplimiento de los objetivos por parte del alumno. Esta segunda parte contabilizará un 20% de la nota final.

3.3.4. Recursos para el aprendizaje

Se utilizarán los siguientes recursos:

•Biblioteca “Abraham Zacut” de la Universidad de Salamanca.

•Internet: En particular la base de datos “MathSciNet” y el archivo de preprints “ArXiv.org”.

3.3.5. Idiomas en que se imparte

El idioma en que se impartirán las clases será el español o el inglés, en función de los alumnos.