AMPLIACIÓN DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA (Optativa)

SEMESTRAL. 7,5 créditos (4,5 teóricos + 3 prácticos)

PROFESOR/ES: D. Daniel Hernández Ruipérez

 

 

Objetivos específicos de aprendizaje

Familiarizar a los alumnos con los problemas de móduli, especialmente de fibrados, su significación geométrica y su construcción. Ilustrar a los alumnos sobre problemas relacionados (categorías derivadas, functores integrales, categorías diferenciales graduadas, etc) que han aparecido recientemente en relación con la teoría de cuerdas. El objetivo del curso es poner a los alumnos en situación de estudiar con profundidad los temas tratados y de usarlos, no pretende un desarrollo completo de la teoría. Se valorará también la capacidad de leer y comprender temas relacionados con la asignatura y desarrollados en libros y artículos de investigación.

 

Estos objetivos se desarrollan en las siguientes Unidades.

 

1.      Conexiones y estructuras holomorfas.

-       Objetivos: Conocer la equivalencia entre estructuras holomorfas y conexiones con curvatura de tipo (1,1) para fibrados con métrica hermítica.

-       Contenidos: Métricas hermíticas en fibrados complejos. Descomposición de Hodge. Operadores delta barra y estructuras complejas, resolución de Dolbeault Conexiones complejas, curvatura. Relación con las estructuras complejas.

-       Destrezas: Manejo de las estructuras complejas. Cálculo de Hodge para formas valoradas en secciones de un fibrado complejo.

 

2.      Fibrados holomorfos

-       Objetivos: Estudiar las propiedades de los fibrados holomorfos.

-       Contenidos: Fibrados y haces homolorfos, Sucesiones exactas. Ejemplos.

-       Destrezas: Cálculo de fibrados a partir de sucesiones. Determinación de núcleos e imágenes.

 

3.      Condiciones de Einstein-Hermite

-       Objetivos: Estudiar la condición de Einstein-Hermite y su significación  geométrica. Relacionarla con la ecuación de anti-autodualidad que caracteriza los instantones.

-       Contenidos: Operador de Hodge. Condición de Einstein-Hermite. Ecuaciones de auto-dualidad. Relación con problemas de extremales.

-       Destrezas: Cálculo de ecuaciones para formas valoradas en secciones.

 

4.      Estabilidad algebraica. Equivalencia con las ecuaciones de Einstein-Hermite

-       Objetivos: Comprender la definición algebraica de estabilidad y conocer su relación con las ecuaciones de Einstein-Hermite

-       Contenidos: Haces estables y semiestables en sentido de Mumford. Relación entre la estabilidad algebraica y las ecuaciones de Einstein-Hermite. (no se estudiará la demostración completa de la equivalencia).

-       Destrezas: Manejo de las condiciones de estabilidad. Cálculo con clases de Chern.

 

5.      El problema de móduli. Ejemplos

-       Objetivos: Comprender los problemas de móduli como problemas de dotar de estructura (algebraica, holomorfa) a conjuntos dados por propiedades geométricas y describir algunos ejemplos. Conocer los conceptos de móduli fino y grosero y sus diferencias. Estudiar la construcción de espacios de móduli dados por condiciones abiertas y cerradas.

-       Contenidos: Espacios y sus puntos. Determinación de una variedad por sus puntos. Lugares geométricos. Reconocer la diferencia entre móduli fino y móduli grosero. Condiciones abiertas y cerradas, condición de haz. Ejemplos sencillos: fibrados vectoriales.

-       Destrezas: Comprender los procesos implicados y ser capaz de manipularlos.

-       Tiempo de aprendizaje: 2 horas de clase teórica, 2 de práctica y 9 de estudio (incluyendo tutorías)

 

6.      Espacios de móduli sencillos: Fibrados proyectivos, Grassmanianas y esquemas de Hilbert

-       Objetivos: Estudiar los fibrados proyectivos y las grassmanianas como espacios de móduli sencillos. Conocer la idea de la construcción de los esquemas de Hilbert y de los esquemas Quot.

-       Contenidos: Puntos de un fibrado proyectivo y de una Grassmaniana. Construcción de un recubrimiento abierto del moduli. Construcción del móduli. Relación con la construcción geométrico diferencial. Descripción de la construcción de los esquemas de Hilbert y Quot. Cálculos en algunos casos sencillos

-       Destrezas: Comprender los procesos implicados. Construir espacios de móduli a partir de recubrimientos. Construir espacios de móduli sencillos similares a los estudiados.

 

7.      Cocientes por acción de grupos

-       Objetivos: Comprender los distintos tipos de cociente posibles por la acción de un grupo algebraico y su relación con el problema de móduli.

-       Contenidos: Acciones de un grupo. Estructuras algebraicas de los cocientes. Ejemplos sencillos, esquemas de Picard.

-       Destrezas: Comprender los distintos de cocientes por la acción de un grupo.

 

8.      Espacios de móduli de fibrados

-       Objetivos: Comprender los problemas de existencia de los espacios de móduli de fibrados y de la necesidad de las condiciones de estabilidad. Móduli fino y grosero de fibrados.

-       Contenidos: Familias limitadas (definición). Descripción de la construcción del móduli. Enunciados de algunos resultados importantes sobre espacios de móduli.

-       Destrezas: Ser capaces de utilizar espacios de móduli de fibrados y de comprender trabajos que los utilicen.

 

Metodología docente: actividades de aprendizaje y su valoración en créditos ECTS

Esta asignatura tiene 7,5 créditos ECTS. Se entiende que un crédito ECTS tiene unas 25 horas, de las que entre 7 y 10 son de actividades presenciales. Los alumnos expondrán en clase trabajos propuestos por los profesores y recibirán listas de ejercicios, que entregarán resueltos al terminar las unidades 3ª, 5ª y 8ª. Los alumnos explicarán en clase los ejercicios entregados.

Se dedican 53 horas a actividades presenciales, de las que 16 son clases de teoría, 15 clases práticas (seminarios), 4 de examen final y 18 se dedican a exposiciones por los alumnos de trabajos propuestos por los profesores y de algunos de los problemas entregados. Se programan 3 horas de tutoría a la semana para que los alumnos que lo deseen efectúen preguntas y consultas.

Se estiman en 112 las horas para trabajo personal, incluyendo la preparación de trabajos para exponer y la realización de ejercicios para entregar.

  

El desglose de las actividades de aprendizaje según los objetivos específicos se refleja en el siguiente cuadro:

El tiempo de estudio incluye las tutorías.

 

3.3.3. Criterios y métodos de evaluación.

 

La evaluación tendrá tres partes.

        1.       Valoración del trabajo personal realizado por el alumno y su exposición. Esta parte contabilizará un 50% de la calificación final.

        2.       Exposición de un tema propuesto por el profesor. Esta parte contabilizará un 30% de la calificación de teoría.

        3.       Realización de un examen para determinar el grado de cumplimiento de los objetivos por parte del alumno. Esta segunda parte contabilizará por el resto de la nota final.

 

3.3.4. Recursos para el aprendizaje

 

Se proporciona a los alumnos material didáctico (notas de clase) con los contenidos teóricos explicados, así como trabajos a realizar. Se recomienda además el uso de la siguiente bibliografía:

 

Hartshorne, Robin: Algebraic geometry. Corr. 3rd printing. (English). Graduate Texts in Mathematics, 52. New York-Heidelberg-Berlin: Springer- Verlag. XVI, 496 p. DM 64.00; {\$} 24.00 (1983).

 

Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred: The geometry of moduli spaces of sheaves. (English). Aspects of Mathematics. E 31. Braunschweig: Vieweg. xiv, 269 p. DM 98.00 (1997). [ISBN 3-528-06907-4/hbk; ISSN 0179-2156]

 

Kobayashi, Shoshichi: Differential geometry of complex vector bundles. (English). Publications of the Mathematical Society of Japan, 15; Kanô Memorial Lectures, 5. Princeton, NJ: Princeton University Press; Tokyo: Iwanami Shoten Publishers. xi, 304 p. 60.50 (1987). [ISBN 0-691-08467-X]

 

Wells, R.O.jun.: Differential analysis on complex manifolds. 2nd ed. (English). Graduate Texts in Mathematics. 65. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag. X, 260 p. DM 39.50; \$ 23.30 (1980).