ÁLGEBRA CONMUTATIVA (Obligatoria)

SEMESTRAL. 7,5 créditos (4,5 teóricos + 3 prácticos)

PROFESOR/ES: D. Daniel Hernández Ruipérez

Dª. Ana Cristina López Martín


Objetivos específicos de aprendizaje

Esta asignatura tiene tres objetivos fundamentales:

•Proporcionar a los alumnos conocimientos básicos y técnicas de uso de anillos conmutativos y módulos sobre ellos, que se utilizan en otras materias, como la Topología algebraica, la Geometría diferencial y el Análisis (fundamentalmente el Funcional y el denominado Análisis Global). En Geometría diferencial y Análisis se consideran anillos de funciones (continuas, diferenciales, holomorfas) y módulos sobre ellas (campos, formas, tensores, secciones de fibrados) y la familiaridad de uso del Álgebra Conmutativa es un importante elemento para su comprensión, en un grado que depende de las materias y de su particular presentación al alumno. En Topología algebraica, notablemente en Álgebra homológica se utilizan los resultados generales de módulos, notablemente los referentes a módulos proyectivos e inyectivos, incluidos en esta asignatura.

•Establecer las bases para el estudio de la Geometría algebraica, de la que el Álgebra conmutativa es uno de los lenguajes básicos. El alumno deberá comprender como la Geometría de las variedades algebraicas afines es equivalente al Álgebra Conmutativa.

•Aprender a deducir propiedades algebraicas de anillos y módulos a partir de propiedades geométricas.


Estos objetivos se desarrollan en las siguientes Unidades.


Espectro de un anillo

Contenidos: Topología de Zariski. Aplicaciones inducidas entre espectros por un morfismo de anillos. Variedades algebraicas afines. Introducción a la dimensión de un anillo. Dimensión de las variedades algebraicas afines.

Destrezas: Reconocer el espacio afín como espectro del anillo de polinomios. Calcular espectros de anillos cocientes de los anillos de polinomios y reconocerlos como variedades algebraicas afines. Calcular las componentes irreducibles del espectro. Reconocer anillos diferentes con el mismo espectro, y saber determinar variedades algebraicas diferentes con el mismo espacio subyacente. Reconocer morfismos algebraicos entre variedades afines. Estimar la dimensión de las variedades algebraicas afines en casos sencillos (utilizando resultados que se estudiarán al final del curso).


Localización y Geometría de los módulos sobre el espectro

Contenidos: Anillos de fracciones. Localización de módulos. El espectro de la localización de un anillo. Abiertos afines del espectro. Localización de un anillo en un punto del espectro. Cuerpo residual y puntos infinitesimalmente próximos. Localización de un morfismo de anillos. Efecto en el espectro. Propiedades locales de los módulos. Condiciones locales de finitud. Propiedades geométricas de los espectros de los anillos íntegros. Rango y torsión de un módulo sobre un anillo íntegro.

Destrezas: Calcular los anillos asociados a abiertos del espectro como anillos localizados. Reconocer los abiertos básicos del espectro como espectros de anillos localizados. Calcular espectros de anillos utilizando la fórmula de la fibra de un morfismo entre espectro. Aplicar las propiedades de la localización de módulos para demostrar resultados reduciéndolos a cálculos locales. Reconocer si una propiedad de anillos o módulos es de carácter local. Aplicar los métodos de localización y determinación del espectro para redemostrar propiedades aritméticas o geométricas elementales. Calcular el soporte de un módulo. Reconocer los módulos de torsión en función de su soporte.


Complementos de teoría de módulos proyectivos e inyectivos

Contenidos: Módulos de presentación finita. Módulos proyectivos. Módulos inyectivos. Carácter local de la platitud.

Destrezas: Familiarizarse con las nociones de módulos proyectivo y su relación con la de módulo localmente libre. Utilizar esta relación para demostrar propiedades algebraicas sencillas. Comprender la noción de módulo inyectivo y reconocer ejemplos sencillos. Saber demostrar que todo módulo es submódulo de un módulo inyectivo, propiedad fundamental para el álgebra homológica.


Condiciones de finitud. Anillos noetherianos y artinianos

Contenidos: Módulos y anillos noetherianos y artinianos. Anillos noetherianos. Propiedades de cociente y localización. Noetherianidad de los anillos de polinomios. Anillos artinianos.

Destrezas: Comprender el significado de la noetherianidad de un anillo (todos sus ideales son finito generados) y aplicarlo a las ecuaciones de las variedades afines. Saber redemostrar de forma mas sencilla cuando el anillo es noetheriano, las propiedades de módulos ya conocidas. Hacer demostraciones de propiedades nuevas de módulos en casos sencillos. Reconocer los módulos y anillos de longitud finita, y saber calcularla en casos sencillos. Reconocer los anillos artinianos en términos de su espectro.


Diferenciales y derivaciones

Contenidos: Derivaciones. Propiedades functoriales de las derivaciones. Diferenciales relativas de un morfismo de anillos. Propiedades functoriales de las diferenciales

Destrezas: Calcular derivaciones y diferenciales de anillos sencillos, particularmente anillos de curvas planas y de hipersuperficies. Calcular diferenciales relativas para morfismos sencillos de anillos. Interpretar geométricamente los puntos del espectro donde esas diferenciales no se anulan.


Descomposición Primaria

Contenidos: Ideales primarios. Descomposición primaria. Descomposición primaria en anillos noetherianos. Cálculo de la descomposición primaria.

Destrezas: Saber reconocer ideales primarios del anillo de polinomios. Calcular componentes primarias y sumergidas de variedades algebraicas afines. Calcular descomposiciones primarias de ideales de anillos de polinomios e interpretarlas geométricamente.


Filtraciones y completaciones

Contenidos: Propiedades de los sistemas proyectivos.  Topologías definidas por filtraciones y sus completaciones. Topologías y completaciones definidas por un ideal. Topologías definidas por un ideal sobre anillos noetherianos. Exactitud de la completación. Graduados asociados a los completados de las topologías definidas por un ideal. Cono tangente en un punto a una variedad algebraica.

Destrezas: Calcular los anillos completados y los anillos graduados de anillos sencillos de variedades algebraicas en sus puntos. Determinar los puntos en que un morfismo entre curvas algebraicas es isomorfismo utilizando los completados.


Metodología docente: actividades de aprendizaje y su valoración en créditos ECTS

Esta asignatura tiene 7,5 créditos ECTS. Se entiende que un crédito ECTS tiene unas 25 horas, de las que entre 7 y 10 son de actividades presenciales. Los alumnos expondrán en clase trabajos propuestos por los profesores y recibirán listas de ejercicios, que entregarán resueltos al terminar las unidades 3ª, 5ª y 8ª. Algunos de los alumnos explicarán en clase los ejercicios entregados.

Se dedican 75 horas a actividades presenciales, de las que 32 son clases de teoría, 28 clases de problemas, 4 de examen final y 11 se dedican a exposiciones por los alumnos de trabajos propuestos por los profesores y de algunos de los problemas entregados. Se programan 3 horas de tutoría a la semana para que los alumnos que lo deseen efectúen preguntas y consultas.

Se estiman en 119 las horas para trabajo personal, incluyendo la preparación de trabajos para exponer y la realización de ejercicios para entregar.


Criterios y métodos de evaluación.


La evaluación tendrá dos partes. La parte teórica contará un 40% y la práctica un 60% de la nota final.

1.Valoración de los problemas realizados por el alumno. Esta parte contabilizará un 15% de la calificación de prácticas.

2.Exposición de un tema propuesto por el profesor. Esta parte contabilizará un 25% de la calificación de teoría.

3.Realización de un examen para determinar el grado de cumplimiento de los objetivos por parte del alumno. Esta segunda parte contabilizará por el resto de la nota final.


Recursos para el aprendizaje


Se proporciona a los alumnos material didáctico (notas de clase) con los contenidos teóricos explicados, así como listas de ejercicios a realizar. Se recomienda además el uso de la siguiente bibliografía básica:


ATIYAH, M. & MACDONALL, J.G. (1971): Introducción al Algebra Conmutativa. Ed. Reverté.

REID, M (1995): “Undergraduate Commutative Algebra”, London Math. Soc. Student Texts (No. 29), Cambridge University Press.


Como bibliografía mas avanzada pero complementaria para algunos temas se recomienda la siguiente:

BOURBAKI, N. – Algebre Commutative”. Hermann, Paris.

MATSUMURA, H. (1970): Commutative Algebra. Benjamín.